Théorie des ensembles
:un seul infini.
 
(S1/2002/414 : De la puissance des ensembles infinis dans ZFC, revisité)

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Sommaire :  

Le texte A est plus qu'une relecture du théorème (Cantor) sur la puissance de l'ensemble des parties d'un ensemble. Le point de vue adopté est celui de la logique standard.
A lire comme une enquête. On y voit que, outre le but scientifique d'offrir un fondement logique aux mathématiques, la construction de ZFC a un objectif   politique : sauver à tout prix la théorie des ensembles transfinis de G. Cantor. A cet effet on crée le concept de théorème indécidable.

Le texte B démontre que dans ZFC tous les ensembles infinis sont de puissance dénombrable, en contradiction avec la théorie des ensembles transfinis. Pour cela on démontre que pour tout ensemble infini, tous ses éléments peuvent être mis "à la queue leu leu". Le théorème de Zermelo devient : "tout ensemble est bien ordonné à la queue leu leu" ! tout simplement.
Le point de vue adopté :
ZFC étant un système axiomatique on ne peut ignorer ni ses axiomes ni ses règles d'inférence et de démonstration. Mais sa consistance n'étant pas démontrée, on peut sciemment ignorer tout théorème établi dans ce système. On peut ainsi faire abstraction de la théorie des ensembles transfinis démontrant la pluralité cardinale des ensembles infinis, puisqu'elle n'est pas explicitée par les axiomes(*). On découvre alors que cette théorie n'est pas un passage obligé dans le traitement de la puissance des ensembles infinis..
(*)
Si tel n'était pas le cas la démonstration serait toujours valide car elle s'appuie sur la notion de relation (ordre, application) et s'applique à tout ensemble constitué d'au moins deux éléments.

Le texte C  indépendant de A et de B, contient deux histoires courtes. Prudence.

 

Liens :

     En ligne depuis le 05/11/2003                                     Dernières mises à jour :       A : 15/02/10,    B : 31/07/11,   C : 08/11/10

 

 Deux citations :

 " Ma théorie est aussi solide que le roc et toute flèche dirigée contre elle se retournera rapidement contre celui qui l'a lancée. Pourquoi ai-je une telle conviction ? Parce que j'ai étudié tous ses aspects pendant des années, examinant toutes les critiques que l'on peut faire aux nombres infinis et, par-dessus tout, parce que j'ai, si l'on peut dire, tiré les racines de cette théorie de la cause première de toutes les choses créées."

Georg Cantor, cité par D. Guedj dans L'empire des nombres, Gallimard 1996

 

 

"Le théorème de Lowenheim-Skolem, selon lequel tout système admettant un modèle admet aussi un modèle dénombrable, montre que la transcendance du continu sur le dénombrable peut n'avoir pas de contenu «objectif»: elle peut être seulement vraie en tant que formule valide du langage de la théorie des ensembles, alors même que les collections d'objets associées à ω et P(ω) (tenants lieu du dénombrable et du continu respectivement) dans une réalisation du langage seraient concrètement équipotentes."

Jean-Michel Salanskis, Encyclopædia Universalis 2005

[Je dirais que l'on utilise un langage cardinal (nombre d'éléments) pour décrire un fait ordinal (ordre des éléments)…]          

 

Révélation ? ... Chimère ? ...

 

Cher lecteur, à vous de juger.